`:top

In der `F33f`_`[Statistik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Statistik]`_`f ist die `!Datenmatrix`!, auch `!Versuchsplanmatrix`!,`:cite-ref-0-1-0[`F5bf`_`[1`#cite-note-0-1]`_`f] `!Designmatrix`!`:cite-ref-0-1-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-0-1]`_`f] (von `F33f`_`[englisch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Englische_Sprache]`_`f `*research design`*: `F33f`_`[deutsch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Deutsche_Sprache]`_`f `*Versuchsplan`*), `!Modellmatrix`!, `!Beobachtungsmatrix`! oder `!Regressormatrix`! genannt, eine `F33f`_`[Matrix`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Matrix_(Mathematik)]`_`f, die Daten über mehrere Merkmale mehrerer Personen oder Objekte (`F33f`_`[statistische Einheiten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Statistische_Einheit]`_`f) enthält. Sie ist Grundlage des `F33f`_`[klassischen Modells der linearen Mehrfachregression`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Multiple_lineare_Regression]`_`f.

Der Begriff `F33f`_`[Versuchsplan`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Versuchsplan]`_`f- bzw. Designmatrix (bezeichnet mit X {\\displaystyle \\mathbf {X} } ) kommt aus dem Teilgebiet der `F33f`_`[statistischen Versuchsplanung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Statistische_Versuchsplanung]`_`f, die sich mit dem statistisch optimalen Entwurf von Experimenten beschäftigt (siehe `F33f`_`[Optimale Versuchsplanung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Optimale_Versuchsplanung]`_`f). Wenn die Werte der x i j {\\displaystyle x_{ij}} geplant sind (vom Forscher festgelegt), enthält die X {\\displaystyle \\mathbf {X} } -Matrix im Wesentlichen den Versuchsplan und wird daher manchmal als Versuchsplanmatrix bezeichnet.`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Alternative Darstellungen`#alternative-darstellungen]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Definition

Geht man davon aus, dass n {\\displaystyle n} `F33f`_`[Untersuchungseinheiten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Untersuchungseinheit]`_`f vorliegen, an denen k = p − − 1 {\\displaystyle k=p-1} Variablen beobachtet wurden, dann ist der an der i {\\displaystyle i} -ten Untersuchungseinheit beobachtete Wert der j {\\displaystyle j} -ten Variable x i j {\\displaystyle x_{ij}} . Die `*Datenmatrix`* ist definiert als die n × × p {\\displaystyle n\\times p} -Matrix

X = ( x i j ) n × × p = ( 1 x 11 x 12 ⋯ ⋯ x 1 k 1 x 21 x 22 ⋯ ⋯ x 2 k ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ 1 x n 1 x n 2 ⋯ ⋯ x n k ) {\\displaystyle \\mathbf {X} =(x_{ij})_{n\\times p}={\\begin{pmatrix}1&x_{11}&x_{12}&\\cdots &x_{1k}\\\\1&x_{21}&x_{22}&\\cdots &x_{2k}\\\\\\vdots &\\vdots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\1&x_{n1}&x_{n2}&\\cdots &x_{nk}\\end{pmatrix}}} .

Die i {\\displaystyle i} -te Zeile der Datenmatrix X {\\displaystyle \\mathbf {X} } ist der – mit den am i {\\displaystyle i} -ten Objekt beobachteten Variablenwerten – gebildete `F33f`_`[Zeilenvektor`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeilenvektor]`_`f x i . ⊤ ⊤ = ( x i 0 , x i 1 , … … , x i k ) {\\displaystyle \\mathbf {x} _{i\\mathbf {.} }^{\\top }=(x_{i0},x_{i1},\\dotsc ,x_{ik})} , i = 1 , … … , n {\\displaystyle i=1,\\dotsc ,n} . Man kann das i {\\displaystyle i} -te Objekt geometrisch als `F33f`_`[Punkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Punkt_(Geometrie)]`_`f darstellen, indem man die Elemente als `F33f`_`[Koordinaten`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Koordinaten]`_`f eines Punktes in einem p {\\displaystyle p} -dimensionalen `*Merkmalsraum`* deutet, der von p {\\displaystyle p} rechtwinkelig angeordneten Merkmalsachsen aufgespannt wird. Wenn man auf diese Art alle Zeilenvektoren von X {\\displaystyle \\mathbf {X} } als Punkte darstellt, ergibt sich eine die Objekte (Untersuchungseinheiten) repräsentierende Verteilung von Punkten im `F33f`_`[Merkmalsraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Merkmalsraum]`_`f.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

Ebenso kann man die Datenmatrix als Zusammenfassung der `F33f`_`[Spaltenvektoren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spaltenvektor]`_`f x . j = ( x 1 j , x 2 j , … … , x n j ) ⊤ ⊤ {\\displaystyle \\mathbf {x} _{\\mathbf {.} j}=(x_{1j},x_{2j},\\dotsc ,x_{nj})^{\\top }} , j = 0 , … … , k {\\displaystyle j=0,\\dotsc ,k} deuten. Jeder Spaltenvektor ist einer Variablen X j {\\displaystyle X_{j}} zugeordnet und beinhaltet die an den Untersuchungseinheiten beobachteten Werte dieser Variablen. Mit diesen Werten können die Variablen in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem, in dem die Achsen die n {\\displaystyle n} Untersuchungseinheiten repräsentieren, als Punkte dargestellt werden. Im von den n {\\displaystyle n} Achsen aufgespannten `*Objektraum`* lassen sich die Beziehungen zwischen den Variablen veranschaulichen.`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]

>>Alternative Darstellungen

Die Datenmatrix X {\\displaystyle \\mathbf {X} } kann als eine `F33f`_`[partitionierte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Partition_(Mengenlehre)]`_`f Matrix bezüglich ihrer p = k + 1 {\\displaystyle p=k+1} Spalten ausgedrückt werden als

X = ( 1 , x ( 1 ) , x ( 2 ) , … … , x ( k ) ) {\\displaystyle \\mathbf {X} =(\\mathbf {1} ,\\mathbf {x} _{(1)},\\mathbf {x} _{(2)},\\dotsc ,\\mathbf {x} _{(k)})} .

Die Spalten der Datenmatrix X {\\displaystyle \\mathbf {X} } inklusive des `F33f`_`[Einsvektors`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Einsvektor]`_`f 1 {\\displaystyle \\mathbf {1} } sind alle n {\\displaystyle n} -dimensionale Vektoren und daher Punkte im Datenraum. Da für gewöhnlich angenommen wird, dass X {\\displaystyle \\mathbf {X} } von `F33f`_`[Rang`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rang_(Lineare_Algebra)]`_`f k + 1 {\\displaystyle k+1} ist, sind die Vektoren `F33f`_`[linear unabhängig`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Unabhängigkeit]`_`f. Die Menge aller möglichen `F33f`_`[Linearkombinationen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Linearkombination]`_`f der Spalten von X {\\displaystyle \\mathbf {X} } bilden eine `F33f`_`[Teilmenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Teilmenge]`_`f des Datenraums.`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f]

>>Einzelnachweise

`:cite-note-0-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-0-1-0]`_`f `*design matrix.`* Glossary of statistical terms. In: `*`F33f`_`[International Statistical Institute`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=International_Statistical_Institute]`_`f.`* 1. Juni 2011, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 19. September 2013; abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch). `!Info:`! Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/isi.cbs.nl

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: `*Linear models in statistics.`*, John Wiley & Sons, 2008., S. 139

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f Werner Timischl: `*Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner.`* 3. Auflage. 2013, S. 420.

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f Werner Timischl: `*Angewandte Statistik. Eine Einführung für Biologen und Mediziner.`* 3. Auflage. 2013, S. 420.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Rencher, Alvin C., und G. Bruce Schaalje: `*Linear models in statistics.`*, John Wiley & Sons, 2008., S. 153.

`c`F0af`_`[↑ Back to top`#top]`_`f`a